L'effetto farfalla Cos'è ?

Può il battito delle ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas ?

Con queste famose parole dette da Edward Lorenz in un convegno a Washington nel dicembre del 1979, si da inizio ad una ricerca sistematica sui comportamenti caotici nei fluidi, in termodinamica e in meccanica.

In breve:- Può il piccolo spostamento d'aria provocato dal battito delle ali di una farfalla, innescare un evento imponente come quello di un tornado?

Un piccolo evento iniziale, può determinare in breve tempo un cambiamento tale, da influire sul risultato finale in un modo così determinante?

Lorenz era un meteorologo che conosceva anche la matematica e per aiutarsi nella previsione dei comportamti atmosferici, nel 1960 realizzò un programma per computer che forniva risultati che rendevano abbastanza bene il comportamento reale dei fenomeni atmosferici Un giorno stava riprendendo una simulazione al computer che aveva iniziato il giorno precedente e per velocizzare la prova aveva immesso dati che

aveva già ottenuto precedentemente, ma con grande sorpresa il programma sfornava risultati completamente diversi da quelli già ottenuti il giorno prima, dopo varie prove scoprì che il problema nasceva da una piccola differenza nei numeri che

aveva immesso nel calcolatore, Il numero che doveva scrivere era 0,506127 ma per risparmiare spazio aveva scritto 0,506 pensando che un decimillesimo di differenza, non avrebbe influito molto sull' evoluzione finale, evidentemente non era così, s'accorse infatti che anche una piccolissima variazione iniziale, comportava un grande cambiamento nei risultati finali.

Per capire meglio questo comportamento instabile ridusse le equazioni a tre,
dx/dt= a(y-x)
dy/dt= bx-y-xz
dz/dt= xy-cz

Con la variabile X simulava la pressione(la velocità con cui sollevano le colonne d'aria),

con la variabile Y si simulava temperatura(la differenza di temperatura tra le masse d'aria ascendente e quella discendente)

e con la Z la velocità dei venti(quando il vento ha delle brusche accelerazioni, il gradiente termico perde la sua linearità, questa variabile misura l'allontanamento da questa linearità).
(Il gradiente termico verticale è il valore con cui cambia la temperatura dell'aria al variare della quota.)

Fornendo al computer come valori di t=0;    :a=10,0   :b=28,0   :c=2,667
t=0 significa che partendo da un Tempo t iniziale = 0 si immettono i tre valori di a,b,c che corrispondono ad un punto sullo schermo

i valori corrispondenti agli istanti successivi di Tempo =t2, t3, e successivi, si ottengono usando i differenziali dx,dy,dz che forniscono al computer i dati delle succesive posizioni di x,y,z che servono per disegnare il comportamento del sistema.

La linea che traccia la doppia spirale, in realtà è fatta con migliaia di punti.
Il punto di partenza corrisponde all'istante t=0, i punti successivi rappresentano le coordinate x,y,z del Tempo   t2, t3, t4, etc.

Lorenz studiando il risultato dei diagrammi così ottenuti, si convinse che tutte le sue grandi speranze di poter calcolare le previsioni del tempo a lungo termine erano un'utopia, anche con l'aiuto di potentissimi computer, erano troppe le variabili

iniziali che non si potevano avere con assoluta precisione e poichè piccoli errori iniziali causano enormi cambiamenti nei risultati finali, le previsioni del tempo a lungo termine erano impossibili.

Dopo quasi 50 anni nonostante il grande sviluppo nella potenza e nella velocità di calcolo dei computer, sappiamo che Lorenz aveva visto giusto, dopo i 6 giorni le previsioni del tempo sono poco attendibili.

Nonostante la sua convinzione sulla impossibilità di prevedere il tempo a lungo termine, Lorenz non abbandonò la ricerca sui comportamenti dinamici complessi, che non confluisono

in uno stato stazionario, di questi comportamenti ce ne sono molti anche in natura, popolazioni animali che aumentano e diminuiscono quasi regolarmente, epidemie, che hanno uno strano andamento ciclico, etc.

Evidentemente si rese conto della connessione tra aperiodicità e imprevedibilità.
Così con le sue 3 equazione che aveva già utilizato per le previsioni del tempo, si mise a studiare la convenzione nei gas e nei fluidi.

Nei libri di testo viene mostrato (vedi figura a sinistra) come visualizzare la convenzione con una cella di fluido, si tratta di una specie di scatola, con la base che può essere riscaldata e la parte superiore raffreddata, se la differenza di temperatura tra il fondo ed il coperchio è piccola, il fluido rimane fermo.

Se si aumenta il calore della base, il fluido sale verso l'alto, si raffredda a contatto con il coperchio freddo e ridiscende verso il fondo, dove si riscalda di nuovo e torna a salire. In questo

modo si forma un moto circolare stazionario, che se osservato lateralmente sembra una coppia di cilindri. immagine a destra. Graficamente questa funzione può essere rappresentata in 2 modi diversi:

- In un modo normale come nell' immagine qui sotto a sinistra, che rappresenta un movimento stabile e prevedibile del fluido , in questo caso la funzione tradizionale, viene rappresentata da un'onda come quella che si vede nell'immagine qui sotto,che lentamente diventa sempre più piatta ad indicare

che la convenzione fa muovere il fluido nella scatola in modo sempre più regolare, fino a raggiungere un andamento stabile, le onde sempre più piccole dell'immagine rappresentano il grafico del moto circolare del fluido, che piano piano si stabilizza e la linea diventa piatta.

La funzione che viene mostrata con le immagini al centro e a destra, contiene più informazioni ed in matematica è detta SPAZIO DELLE FASI, si tratta di un'idea di Henri Poincaré,

nota da circa un secolo, con lo spazio delle fasi si riesce a rappresentare un sistema a più dimensioni. Nel nostro caso oltre a mostrare il moto del fluido e la temperatura, mostra anche la linearità temporale

nell'andamento del sistema. L'immagine in movimento al centro e quella a destra le ho ottenute usando un valore molto basso di c

(vedi la formula di Lorenz qui sopra), quella del gradiente termico, con poco vento non c'e turbolenza, proprio come nel scatola, quando c'è poco calore e il movimento

del fluido si stabilizza, ossia le spirali della funzione diventano sempre meno ampie come se fossero influenzate da un attrattore centrale

Diversamente se si riscalda ulteriormente il fondo della scatola le coppie di cilindri di fluido cominciano ad ondeggiare, perchè il coperchio non riesce a raffreddare a sufficenza il liquido e la sua

ridiscesa sul fondo diventa difficile, perchè è ancora troppo caldo, tanto che invece di scendere sul fondo, può ritornare verso l'alto, invertendo il senso di rotazione.

In questo modo il comportamento del sistema diventa instabile.
Il sistema diventa caotico, perchè il fluido continua a oscillare da una direzione all'altra e con tempi sempre diversi.

Questo a sinistra è il grafico di una funzione che rappresenta il comportamento del sistema in esame, l'andamento della curva è molto irregolare, ciò significa che tempo di circolazione del fluido varia continuamente fino a diventare caotico.

Mentre a destra, l'immagine ottenuta usando la tecnica dello spazio delle fasi e con le equazioni di Lorenz,oltre al variare del tempo che qui è rappresentato dall'ampiezza dei cerchi, mostra anche il cambiamento della direzione del fluido, quando a causa del troppo calore non riesce a ridiscendere e torna sui suoi passi invertendo anche il senso di marcia, le due serie di cerchi concentrici evidenziano i due sensi di circolazione del fluido.

L'immagine è particolarmente interessante, perchè mostra come il tempo impiegato dal fluido per effettuare una giro cambi continuamente senza sovrapporsi mai, così come l'inversione della circolazione che sembra non avvenire mai alla stessa temperatura.

Questa immagine stereo evidenzia in modo molto più comprensibile quanto avete letto, naturalmente servono gli occhiali con una lente rossa ed una verde.

Utilizzando la formula di Lorenz ma con un elemento di disturbo ho ottenuto queste immagini, La prima a sinistra sembra una farfalla, la seconda sembra la testa di un gatto.