L'algoritmo di Newton per estrarre le radici di un numero, se applicato ai numeri complessi conduce a dei risultati molto interessanti dal punto di vista grafico, sia se visti dal lato estetico che da quello matematico.

Se guardiamo le immagini qui sotto vediamo due modi differenti per la rappresentazione grafica in un piano complesso, delle coordinate appartenenti alle tre radici cubiche del numero uno.
capture-20160424-174917.png newtonR3L.png newtonR3LIng2.png newtonR3LIng1.png
Nella prima immagine a sinistra le tre radici si trovano nei cerchi pi piccoli all'interno di quelli che sembrano tre occhi.
La seconda immagine, al posto delle coordinate delle tre radici, mette in evidenza i loro confini con i rispettivi bacini di attrazione che sono stati colorati con tre colori diversi.
nei due ingrandimenti a destra potete notare che i confini, oltre a non avere un andamento regolare, (notate la loro particolare configurazione) ogni radice forma un' isola tra il confine delle altre due radici e queste isole sono circondate da altre isole pi piccole che presentano lo stesso comportamento, creando quella che nota come una figura frattale,
img. 5 capture-20160422-185849.png img. 5
img. 6 capture-20160422-052928.png img. 6
Nella prima immagine a sinistra oltre alle tre radici che si trovano all'interno dei cerchi pi piccoli in quelli che sembrano tre occhi, mostra anche la collana di isole che fanno da confine tra le tre radici
Quasi tutte le immagini seguenti le ho aggiunte per il loro valore estetico, sono state ottenute esasperando o alterando alcuni valori all'interno della formula di Newton, inoltre per generarle ho usato le radici che vanno dalla seconda alla decima, perch oltre la decima le immagini non presentano pi differenze esteticamente interessanti.
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img. 8 capture-20160422-054548.png
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L'immagine num. 6 ottenuta con una radice, mentre dalla num. 7 al num. 11 nascono da radici cubiche.
la num. 12 viene da una radice quarta.
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img. 12 capture-20160422-055135.png
img. 13 capture-20160422-055312.png
img. 14 capture-20160422-055526.png
La num. 13 nasce da una radice quinta 5, mentre la num. 14 rappresenta una radice decima la num. 15 una radice quadrata, le restanti figure sono rappresentate da radici terze.
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L'ultima immagine, la num. 20 mi sembra particolarmente interessante per il suo apetto quasi tridimensionale

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FRATTALI di NEWTON




In questa sezione vediamo i frattali che si ottengono con il

metodo di Newton (applicato al piano complesso)

che uno schema per la risoluzione di equazioni attraverso approssimazioni sempre migliori, questo metodo era gi vecchio al tempo di Newton, dato che gi i greci ne conoscevano uno per estrarre le radici quadrate.
Si parte con una congettura sufficientemente precisa della radice, questa porta ad una congettura migliore e ripetendo il processo, che richiede poche operazioni per ogni iterazione, si arriva alla soluzione.
Per risolvere l'equazione x^2 - 1 = 0 si hanno 2 soluzioni sia sulla linea dei numeri reali sia sul piano complesso, ossia x= 1 o x= -1.
Il problema cambia quando l'equazione x^3 - 1= 0 in questo caso sulla retta dei reali la soluzione solo una cio x= 1 mentre sul piano complesso avremo 3 soluzioni ossia X= 1 poi abbbiamo -0.5 +i 0,866... e poi -0,5 -i 0.866...
Se pensate al piano complesso come ad un orologio vedreste questi 3 numeri piazzati, uno sulle ore tre, uno sulle sette e l'ultimo sulle undici, queste tre posizione se unite con una linea, formerebbero un triangolo equilatero. Nel piano complesso l'ennesima radice ha n soluzioni, per esempio l'equazione x^4 -1 =0 ha 4 soluzioni vale a dire 1, +i, -1, e -i che se piazzate sempre sull'orologio segnerebbero le 3, le 12, le 9, e le 6, a questo punto probabilmente avrete gi capito che le i =(numero immaginario)segnano la parte superiore dell'orologio se positive ed inferiore se negative, mentre i numeri che

non

sono precedeuti o seguiti da una i sono detti reali e sull'orologio rappresentano il lato a sinistra del centro dell'orologio se sono negativi e il lato destro se sono positivi.
Ho usato l'orologio come riferimento perch tutte le soluzioni delle equazioni x^n -1 =0 hanno n soluzioni nel piamo complesso e si trovano tutte su un determinato punto di una circonferenza di raggio 1 e con centro zero, naturalmente il piano complesso normalmente viene rappresetato come un quadrato con una retta orrizzontale che rappresenta i numeri reali ed una verticale che rappresenta i numeri immaginari, le due rette si incrociano nel centro del piano che corrisponde al numero zero sia per i reali che per gli immaginari, come detto prima, a destra dello zero ci sono i reali positivi a sinistra quelli negativi mentre a nord dello zero ci sono gli immaginari positivi e a sud quelli negativi ed ora dopo questo piccolo chiarimento torniamo alla nostra equazione x^3 -1 = 0 perch analizzandola graficamente presenta un comportamento interessante, infatti le tre radici agiscono come tre attrattori, come se fossero tre pianeti con il proprio bacino d'attrazione dove ruotano i propri satelliti ( rappresentati dai numeri che portano alla soluzione di ogn'una delle tre radici) l'interessante che se si colorano i numeri dei tre bacini di attrazione con tre colori diversi ad esempio verde rosso e blu , non si ottengono tre spicchi dai confini netti, ma al confine tra il rosso e il blu si formano delle gemme che contengono anche il colore verde, lo stesso succede al confine tra il rosso ed il verde dove le gemme contengono il blu e la stessa cosa succede al confine con il blu ed il verde. Queste gemme se vengono ingrandite ripresentano la stessa struttura del grafico originale.
Il metodo di Newton non il pi efficiente per trovare le radici delle equazioni complesse appena viste, se si usano le funzioni coseno e seno abbiamo la soluzione in pochi passaggi, ad esempio per trovare le tre radici terze che si trovano su una circonferenza unitaria, basta dividere i 360 gradi della circonferenza in tre archi di cerchio ossia 3 archi di 120 gradi poi applicando le funzioni coseno e seno al primo arco ossia a 120 gradi avremo subito la prima radice -0.5 +i 0,866 (-0.5 il coseno e corrisponde alla parte reale del numero complesso , mentre 0.866 il seno che corrisponde alla parte immaginaria) poi per la seconda radice si somma il secondo arco al primo ed otteniamo 240 gradi e le due funzioni daranno rispettivamente -0.5 -i 0,866 infine per la terza radice sommiamo il terzo arco ottenendo 360 gradi che le funzioni coseno e seno daranno come risultato rispettivamente 1 e i = 0.
Il metodo di Newton viene usato perch il suo algoritmo richiede un certo numero di passaggi prima di approssimare il risultato, ed assegnando il numero dei passaggi al numero del colore abbinato al pixel in esame, che otteniamo i bacini d' attrazione che evidenziano un comportamento altamente frattale, inoltre colorando il grafico non solo in base al numero dei cicli utilizzati, ma anche i numeri relativi alle coordinate della parte reale e della parte immaginaria del numero complesso si ottengono delle immagini graficamente interessanti.

Queste sotto sono immagini della radice terza ottenute con le funzioni seno e coseno che evidenziano la grande differenza con quelle ottenute usando il metodo di Newton.
norm1.jpg
norm2.jpg
norm3.jpg
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Come si pu vedere dalla prima immagine i tre puntini neri al centro dei tre cerchi colorati rappresentano le tre approssimazioni migliori delle tre radici, ma poich utilizzando le funzioni seno e coseno il risultato non richiede che un paio di passaggi i colori sono assegnati in base alla vicinanza della soluzione e ai relativi bacini di attrazione.
La seconda, la terza e la quarta immagine sono il risultato di un tentativo di legare insieme le tre soluzioni per ottenere immagini un poco pi accativanti, ma come potete vedere non si possono, o almeno io non sono riuscito ad ottenere immagini spettacolri paragonabili a quelle ottenute con il metodo di Newton.

Biblio
CAOS La nascita di una nuova scienza. -di J. GLEICK -ed. Biblioteca scientifica Sansoni
titolo originale CHAOS ISBN 88-383-1704-6

Grafica matematica con il personal computer. - di Attilio Comi - ed. McGraw Hill
ISBN 88-386-0203-4
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