L'algoritmo per ottenere queste immagini l'ho già illustrato nella sezione riguardante le istruzioni per apprendere l'essenziale del linguaggio di programmazione Java per ottenere un insieme di Mandelbrot.

Questo è il Capitolo iniziale
Per chi non ha interesse per la programmazione, più avanti troverete alcune informazioni su quello che per me è una fonte di immagini spettacolari sempre nuove e misteriose
capture-20160519-202517.png capture-20160519-203355.png
Nella prima immagine a sinistra si vede un'immagine dll'insieme di Mandelbrot realizzata in un modo che crea un effetto di profondità.
I punti che appartengono all'insieme di M. sono solo quelli colorati in nero, gli altri sono quelli che superato il suo confine, tendono ad allontanarsi sempre più velocemente, i colori vengono assegnati in base alla velocità con cui si allontanano dal confine, in altri termini, minore è il numero delle iterazioni necessarie alla formula per superare il confine, maggiore è la velocita di fuga, se per esempio servono solo 10 iterazioni si assegna il colore rosso, se occorrono 20 iterazioni il pixel in esame si colora di blu, etc.
Nell'immagine a destra viene evidenziata la zona che presenta i risultati più spettacolari della formula, è situata subito dopo il confine nero , in questa zona di confine la formula presenta un andamento strano nel senso che sembra avere difficoltà nel decidere se un risultato debba restare dentro il confine nero o uscirne, è questa indecisione che determina il numero delle iterazioni della formula che a sua volta stabilisce il colore del pixel e che alla fine forma dell'immagine finale.
img. 3 capture-20160519-203649.png
img. 4 capture-20160519-203802.png
Nella prima immagine a sinistra si vede quello che assomiglia un cavalluccio marino, mentre quella a destra è la stessa immagine ma senza gli avallamenti che la circondano in questo modo si evidenza la parte più interessante.
img. 5 capture-20160519-203858.png
img. 6 capture-20160519-204154.png
La num. 5 è un ulteriore ingrandimento delle due immagini precedenti, notate il piccolo insieme di M. al centro dell'immagine, queste repliche dell'insieme di M. sono sparse ovunque all'esterno del bordo nero dell'insieme originale, anche se sono molto simili non sono esattamente identiche inoltre la loro distribuzione non è omogenea o regolare come nei frattali normali.
L'mmagine a destra presenta una doppia spirale di figure che sembrano ricami di merletti.
img. 7 capture-20160519-204352.png
img. 8 capture-20160519-204456.png
La num. 7 e num. 8 sono due altri ingrandimenti che presentano al loro centro un altro insieme di M. se si ingrandiscono questa immagini si vedrebbero altri insiemi come questi che a loro volta se ingranditi presenterebbero altre repliche simili all'originale, questo processo è limitato solo dalla potenza di calcolo del computer.
img. 9 capture-20160519-204743.png
img. 10 capture-20160519-204846.png
La num. 9 Sembra un'isola che nasconde al suo interno un insieme di M. ed è circondata da 4 linee che hanno all'estremità altre isole all'ungate, con all'interno dei punti scuri, l'immagine num. 10 è un ingrandimento di una delle quattro isole allungate, notate che al suo interno nasconde delle parti scure che hanno al loro interno altre repliche del disegno originale, che se ingrandite ulteriormente mostrerebbero un altro insieme di M.
img. 11 capture-20160519-205029.png
img. 12 capture-20160519-205411.png
La figura num. 11 sembra una spirale di cavallucci marini mentre num. 12 è un'isola di forma quadrata, sempre circondata di cavallucci.
img. 13 capture-20160519-205951.png
img. 14 capture-20160519-210055.png
La figura num. 13 e la num. 14 sono una variazione sul tema, ma mi sembravano esteticamente interessanti.
La num.
img. 15 capture-20160519-213208.png
img. 16 capture-20160519-213336.png
La num. 15 e 16 sono simili alla 12 e alla 10 ma in questo caso ho messo in evidenza i contorni in modo da creare un effetto di profondità

img.17 capture-20160519-215300.png
img. 18 Mandanigif.gif
La num. 17 è un'altra bella immagine. La num. 18 presenta una serie inversa di ingrandimenti, ossia si parte da un forte ingrandimento e con vari passaggi si arriva al punto iniziale che mostra le coordinate iniziali delle immagini.

Nelle pagine due, tre, quattro e cinque ci sono ancora varie immagini interessanti.
Nelle pagine 6, 7, 8 e 9 ci sono gli applet con i relativi listati per ottenere immagini simili a quelle che vedrete in queste pagine
Queste sotto a destra sono esempi di quello che vedrete nelle prossime pagine.

L'insieme di Mandelbrot



Quelle che seguono sono alcune informazioni su questo insieme, spero che possano esservi utili per farvi un'idea di cos'è e stimolarvi a realizzarne uno da soli.
Cominciamo dai numeri complesssi, perchè è con essi che possiamo determinare ogni punto sul piano, dato che con i numeri reali possiamo determinare un punto solo su una linea, ad esempio possiamo avere un punto che si trova a 2,3 unità prima o dopo lo zero, mentre i numeri complessi ci permettono di specificare una coordinata che si trova 2,3 unità sia prima o dopo lo zero che sopra o sotto lo zero, in questo modo possiamo specificare qualsiasi punto su una superfice che viene detta piano complesso, per questo motivo ci servono i numeri complessi, perchè sono formati da 2 parti, una detta reale ed una detta immaginaria, la parte reale determina i punti sulla linea orrizontale o ascissa , mentre l'immaginaria quella verticale o ordinata, un esempio di numero complesso è 2 +3i che significa che il punto che corrisponde a questo numero si trova a 2 unità a destra dello zero e 3 unità sopra lo zero, vedi il punto verde qui sotto, lo zero è l'origine del piano, da dove si dipartono le ascisse e le ordinate, complex_plane.jpg


Come si può vedere dall' immagine il punto rosso è rappresentato dal numero -3 +1i mentre il blu è rappresentato dal numero -1,5 -2,5i

Per le operazioni di addizione e moltiplicazione vi rimando Capitolo 3

Vediamo in breve la formula di Mandelbrot Z^2 + c dove sappiamo che Z e c sono num. complesssi.
La formula comincia con una moltiplicazione, dato che l'elevamento a potenza di un numero è uguale a moltiplicare il numero per se stesso, a cui viene sommato ad un altro numero complesso, questo fatto ha una conseguenza particolare quando il risultato ottenuto viene riutilizzato per ripetere il procedimento molte volte, ad esempio con i normali numeri reali se prendo un numero reale inferiore ad 1 ad esempio 0,4 e lo moltiplico per se stesso ottengo 0,16 se sommo un altro numero che mi da un risultato inferiore ad 1 e ripeto il procedimento avrò sempre come risultato un numero inferiore ad 1 mentre se sommando un numero supero la soglia di 1 ripetendo il procedimento si avrà rapidamente un numero molto grande, non succede la stessa cosa con i num. complessi, se ad esempio la parte reale è compresa tra -0,75 e 1,75 e la parte immaginaria è compresa tra 1,25 e -1,25 l'elevamento a potenza e l'aggiunta di un altro numero compreso tra i due estremi visti, ha un comportamento particolare, alcuni numeri dopo alcune iterazioni diventano grandi molto rapidamente, e si allontanano dall'origine velocemente, altri invece rimangono sotto una certa soglia, restando sempre molto vicino allo zero, altri ancora sono indecisi sembrano saltellare intorno ad una zona di confine particolare, senza decidersi dove collocarsi.
Mandelbrot provò a colorare di nero tutti i numeri complessi che non riuscivano a superare, dopo un certo numero di iterazioni il valore assoluto o modulo 2, il modulo semplicemente è l'ipotenusa del trinagolo formato dalla parte reale ed immaginaria del numero, ad esempio il modulo del punto verde del disegno visto sopra è uguale alla radice quadrata di 2^2 + 3^2 ossia radice quadrata di 4+9 =3,605...
Ecco perché tutti i numeri che con la sua formula non riescono a superare la soglia di modulo 2 appartengono all'insieme di Mandelbrot e abitualmente vengono colorati di nero, l'immagine generata da tutti questi punti ad alcuni sembra un 8 sdraiato per altri uno scarafaggio, in realtà il corpo principale è un cardioide accanto ad cerchio incompleto.

Una difficoltà per Mandelbrot era quella di determinare quante iterazioni concedere al punto in esame per decidere se apparteneva o no al suo insieme e andava colorato di nero, di fatto emerse che normalmente se dopo aver ripetuto il procedimento una sessantina di volte il numero non riusciva superare il confine di modulo 2 c'erano forti possibilità che anche dopo centinaia di iterazioni non l'avrebbe fatto, ma quando si effettuano ingrandimenti di miglia o milioni di volte, il numero di iterazione necessarie per decidere se il punto in esame appartiene o no all'insieme di M. può richiedere anche alcune centinaia di iterazioni, con la velocità dei computer odierni si possono ottenere forti ingrandimenti in pochi secondi, ma negli anni 80 quando ho cominciato ad appassionarmi a questo insieme si doveva lasciare acceso il computer tutta la notte per avere un bel ingrandimento.
capture-20160602-083712.png capture-20160602-082624.png capture-20160602-082426.png capture-20160602-082228.png
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