HOME Men¨ di grafica 1 - Introduzione 2 - Armonografo laterale 3 -Armonografo a tre pendoli 4 - Ampiezze delle oscillazioni 5 -Armonografo a due pendoli stereo 6 - Armonografo a tre pendoli stereo 7 - Armonografo sferico 8 - Applet rotatorio 9 - Applet sferico 10 - Immagini 1 11 -Immagini 2 12 - Immagini 3

L' Armonografo Cos'Ŕ ?

E' uno strumento che utilizza due o tre pendoli per realizzare belle curve che possono essere messe in relazione con le frequenze delle onde sonore prodotte da strumenti musicali.

Si ritiene che sia stato inventato nel 1844 dal matematico scozzese Hugh Blackburn. L' Armonografo a due pendoli traccia le famose figure di Lissajous

Mentre quello a tre pendoli, come quello nell'immagine qui a lato  traccia delle curve pi¨ complesse ed elaborate
L'immagine qui a lato Ŕ un esempio di armonografo

harmonograph_01-238x300.jpg

http://www.karlsims.com/harmonograph/index.html
Su questo sito potete apprendere come costruirne uno.

Le immagini che vedrete in queste pagine invece sono state realizzate usando un mio piccolo programma in linguaggio Java, le immagini che si ottengono sono abbastanza simile a quello di un armonografo vero, per fare un confronto potete confrontarle con quelle che appaiono nel volume di (Antony Ashton - Harmonograph, oppure in italiano  nel libro - Quadrivium - numero, geometria, musica, astronomia - Sironi editore)
Anche in questi 2 voluni ci sono alcune istruzioni per costruire un armonografo.
Ma se non avete tempo o voglia di costruirvene uno, potete copiare i listati dei miei programmi che ho inserito nelle pagine he ospitano con gli applet.
Con questi programmi oltre a realizzare le immagini che vedete in queste pagine, permettono, cambiando alcuni parametri delle fuzioni di realizzare molte altre figure esteticamente gradevoli,

img. n.1 art_7-1.jpg

img. n.2 art_pentagono.jpg

Immagini ottenute simulando un armonografo a tre pendoli.
Due dei tre pendoli  si muovono perpedincolarmente uno all'altro,  e sono uniti da due aste che sorreggono un matita, la combinazione dei movimenti dei due pendoli provoca un effetto rotatorio al movimento della matita.
Mentre il terzo pendolo Ŕ  montato su una sospensione cardanica, tipo quella delle bussole sulle imbarcazioni, questo permette  a sua volta di ottenere un altro movimento rotatorio trasmesso al ripiano posto  alla sommitÓ del pendolo, sul piano viene posto un foglio, sul quale viene tracciato il disegno  vedi la figura sopra dell'armonografo a 3 pendoli  Due dei tre pendoli  si muovono perpedincolarmente uno all'altro,  e sono uniti da due aste che sorreggono un matita, la combinazione dei movimenti dei due pendoli provoca un effetto rotatorio al movimento della matita.
Mentre il terzo pendolo Ŕ  montato su una sospensione cardanica, tipo quella delle bussole, questo permette  a sua volta di ottenere un altro movimento rotatorio trasmesso al ripiano posto  alla sommitÓ del pendolo, sul piano viene posto un foglio, sul quale viene tracciato il disegno 
vedi la figura sopra dell'armonografo a 3 pendoli 

img. n.3 art_42-1.jpg

I due movimenti rotatori  forniti dalle oscillazioni  combinate dei tre pendoli  possono essere sincronizzate in vari modi,  questo permette di realizzare queste belle immagini.
Variando la posizione dei pesi appesi all'asta dei pendoli si ottengono oscillazioni con varie velocitÓ che combinate con la sincronizzazione dell'inizio dei movimenti dei pendoli realizzano  immagini con diverse caratteristiche.

img. n.4 art_pentagono_spira2.jpg

I due movimenti rotatori  forniti dalle oscillazioni  combinate dei tre pendoli  possono essere sincronizzate in vari modi,  questo permette di realizzare queste belle immagini. Variando la posizione dei pesi appesi all'asta dei pendoli si ottengono oscillazioni con varie velocitÓ che combinate con la sincronizzazione dell'inizio dei movimenti dei pendoli realizzano  immagini con diverse caratteristiche. Se i due movimenti rotatori  sono  discordi, ovvero   uno gira in senso orario mentre l'altro in senso antiorario, avremo delle figure  come quelle delle immagini qui sopra numero 3 e 4. Oppure quelle sotto, numero 7 e 12.

img. n.5 art_triangolo.jpg

img. n.6 art_quadrato.jpg

img. n.7 quinta_rota3-2.jpg

img. n.8 quinta_late3-2.jpg

img. n.9 quinta_rotadiscorde4-3.jpg

Mentre se i due  movimenti rotatori  sono concordi  ossia girano entrambi nella stessa direzione avremo immagini come
quelle dei numeri 1, 2, 7, 9 e 12 Le immagini num. 8, 10, e 11, sono state ottenute simulando un armonografo a due  pendoli.
La numero 8 e la 10 rappresentano la fase aperta, mentre la numero 11 la fase chiusa.

img. n.10 ottava_late2-1.jpg

img. n.11 ottava_latechiusa2-1.jpg

img. n.12 rota_conco8-5.jpg

Per avere la fase chiusa nell'armonografo a due pendoli si deve dare inizio al movimento dei due pendoli nello stesso istante, mentre per avere una fase aperta si aspetta che uno dei due pendoli abbia percorso giÓ una metÓ della sua oscillazione   Nella prossima pagina vedremo pi¨ dettagliatamente le figure dell'armonografo a due pendoli.

artb9.png

artb10.png

artb14.png

artb11.png

artb12.png

artb13.png

Queste ultime 6 immagini sono state aggiunte per il loro valore estetico.
Naturalmente immagini come queste non si possono ottenere con un armonografo normale, perchŔ non si pu˛ cambiare il colore della penna durante l'oscillazione dei pendoli, solo con una simulazione al computer si possono avere curve con vari colori.

Questa Ŕ la scheda numero 1

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Piccole pillole di curiositÓ sulla matematica greca

Per gli antichi greci la matematica era una cosa seria, non era una cosa da approfondire per fini speculativi ed economici, queste cose erano faccende da bottegai e commercianti al minuto che come qualsiasi attivitÓ manuale, era da delegare agli schiavi, persone indegne, tanto che la parola negoziante racchiude il significato di negazione dell'ozio, che se oggi ha un significato negativo, per gli antichi greci era una cosa molto positiva, perchŔ solo oziando avevi tempo per pensare e ragionare su argomenti degni come la filosofia e la matematica.
Ad esempio, per esprimere il sentimento di contrarietÓ ai negozianti,

Platone che era giÓ una persona importante propose che se un uomo libero si fosse dedicato al commercio, la sua famiglia per difendere il proprio onore poteva denunciarlo e farlo mettere in prigione per un anno con la possibilitÓ di raddoppiare la pena se persisteva nei suoi propositi. Per i greci la matematica non era una cosa inventata dall'uomo, aveva una esistenza propria faceva parte di un mondo idealizzato, perchŔ racchiudeva in sŔ la perfezione delle veritÓ eterne, i suoi teoremi le sue dimostrazioni non cambiavano con il passare del tempo o dei luoghi, il mondo quotidiano era opinabile, un cubo di pietra poteva cambiare di misura sia con il passare dei secoli sia da come si misurava, un cubo matematico al contrario era unico, originale sempre uguale a se stesso, gli altri cubi erano solo brutte copie, la matematica nascondeva i segreti della natura e se l'uomo voleva conoscere la natura del mondo poteva farlo solo attraverso la matematica, scoprirne il linguaggio era la pi¨ nobile delle attivitÓ umane, tale convinzione era nata con la scoperta che la musica non era solo divertimento, ma rispondeva a delle leggi matematiche precise, Pitagora scoprý che se si pizzicava una corda tesa, questa produceva una determinata nota, se si pizzicava una corda lunga il doppio, la nuova nota era un ottava pi¨ bassa e che quelle corde che avevano rapporti semplici come 3 a 2 producevano intervalli armoniosi e gradevoli , esattamente come le figure che si ottengono con l'armonografo. La matematica sviluppata dai greci era molto figurativa, era basata

essenzialmente sui rapporti tra le figure geometriche e i numeri, gli esempi pi¨ famosi sono il teorema di Pitagora e gli scritti di Euclide sui triangoli, quadrati, circonferenze, eccetera, ma anche i numeri erano speciali, anzi magici, secondo i Pitagorici avevano una loro personalitÓ, ad esempio il 2 era considerato femminile( forse I due seni ?), il 3 era maschile (?), il 4 era speciale perchŔ il mondo era fatto di 4 elementi,(fuoco, terra, aria, acqua) il 5 rappresentava la famiglia era l'unione tra il 3 maschile e il 2 femminile, il 6 era un numero doppiamente perfetto, perchŔ era sia la somma dei suoi divisori (1 +2 +3= 6)sia il loro prodotto (1x2x3= 6), per non parlare del 10, il numero sacro della tetraktys che era un triangolo formato con 10 punti, il numero 10 Ŕ composto dalla somma dei primi 4 numeri (1+2+3+4=10) era un numero triangolare, che con 1 rappresentava il punto =(zero dimensioni) il 2 la linea =( una dimensione ) il 3 rappresentava il triangolo =(una superfice = 2 dimensioni) il 4 era il tetraedro =(3 dimensioni = 1 solido )perci˛ i quattro enti geometrici erano definiti con il numero 10 della tetraktys. Queste credenze sono durate molti secoli, se pensiamo che quasi 1000 anni dopo S. Agostino spiegava ancora che Dio aveva fatto il mondo in 6 giorni, perchŔ il numero 6 era un numero perfetto, mi vien da pensare che se magari lo faceva con pi¨ calma ad esempio usando 28 giorni che Ŕ un altro numero perfetto,(14+7+4+2+1= 28) forse noi abitanti umani saremmo nati con qualche difetto in meno.